Jogo de lápis e papel

Com medo de me esquecer disse para pequeno do meio “Logo lembra-me para vos ensinar um jogo novo que encontrei!”.
“Envolve ecrãns?” pergunta-me o rapaz desconfiado/esperançado.
“Não!” respondo-lhe.
“Imaginei que não. Aviso já que não vou gostar!” remata pequeno do meio. Os meus filhos têm muita fé em mim mas não lhes dou muitas hipóteses neste tipo de coisas!
Não só jogou como gostou e irritou-se porque as manas (as duas) lhe ganharam e o moço não tem bom perder!

É um jogo simples, entretem a malta miúda e graúda e puxa pela cabecinha.
Numa folha de papel, desenhar 6 pontos não colineares ( tipo vértices de um hexágono).

Cada jogador escolhe uma cor e, alternadamente, cada jogador desenha um segmento de reta que una dois dos pontos marcados.
Para os mais pequenos é mais fácil desenhar a tracejado o hexágono e as suas diagonais e depois, à vez, cada um dos jogador passa com a sua cor por cima da linha desejada.

Perde quem primeiro, desenhar um triângulo da sua cor (pode ser grande se os seus vértices coincidirem com os pontos marcados ou pequeno se apenas 2 vértices coincidirem com os pontos marcados).
Alguns exemplos

Experimentem, é fácil, rápido e entretem. Uma ideia para viagens longas se a malta não tiver tendência para enjoar.

Vídeo e explicação mais detalhada, passo a passo, do jogo

A Leis da Matemática aos olhos de Escher

“The laws of mathematics are not merely human inventions or creations. They simply ‘are’; they exist quite independently of the human intellect. The most that any(one) … can do is to find that they are there and to take cognizance of them.”

M.C. Escher

Uma excelente definição do que são as leis da matemática, de M.C. Escher que, no entanto, humildemente, afirmava que:

Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas.”

 

A não perder a Exposição de Escher, até 16 de setembro, no Museu de Arte Popular

O circo está montado!

Enquanto os alunos realizam, desesperam e exasperam, o exame de Matemática A, numa sala à parte, durante o período da prova, permanecem, incomunicáveis, 4 professores de Matemática, a fazer exatamente os mesmo que os seus alunos.
Dois professores a revolver o exame de Matemática A, um a resolver o de Matemática B (eu) e outro o de MACS, são os professores coadjuvantes.
Ao resolver o exame de que era coadjuvante, fui ouvindo os comentários preocupados dos meus colegas sobre o exame de 12º ano . “Os alunos não vão perceber isto, é confuso… Uiiii, eles vão errar esta… Não gosto desta pergunta!… Olha uma fácil!… Eu não gostava de ser aluno e estar a realizar este exame… Mas o que é que eles querem? Chumbar toda a gente?… Caderno 1 mais difícil que o caderno 2 e é grande o exame… Bolas, mudaram as cotações das escolhas múltiplas de 5 pontos para 8 pontos, não avisaram, já no exame de Português e F.Q. aconteceu o mesmo, prejudica os bons alunos, que às vezes só falhavam uma escolha múltipla… Deviam ter facultado aos miúdos uma prova modelo, devido ao novo programa e à nova estrutura prevista para o exame, como tantos professores solicitaram e o IAVE sempre recusou… Coitados dos miúdos!”
O exame de Matemática B e de MACS eram, claramente, mais acessíveis e dentro do estilo de anos anteriores embora que… talvez um pouco mais difíceis e a apostar naqueles erros que os alunos comentem sempre!
Ao receber e conferir os exames, no secretariado de exames, ouvi os comentários dos vigilantes “Os alunos estavam tensos, não levantaram a cabeça, nem pararam de escrever e alguns de riscar e riscar o que tinham feito, durante quase 3 horas. Não lhes correu bem… Um ótima aluna, saiu cabisbaixa e de lágrima no olho. Foi tal a desorientação que muitos deles sairam e esqueceram-se de levar a calculadora.”
Depois de observar a prova de aferição de 2º ano e a conjuntura, previ que este seria o cenário mais provável mas nunca esperei que fosse, ou aparentasse ser, assim tão “negro”.
É só aguardar pelas parangonas dos jornais e telejornais daqui a 2 semanas, o dedo apontado aos culpados do costume, que ainda por cima querem que o tempo de serviço lhes seja considerado, levam é com a Flexibilização e Municipalização para resolver o insucesso dos alunos e esqueçam lá o tempo de serviço pois afinal parece que não andaram a fazer nada de jeito!
Acima de tudo, os alunos não merecem ser as cobaias desta gente! Tal como os professores, merecem mais respeito!

Muito à frente!

A estrutura da Prova de Aferição de Matemática em termo de conteúdos parece-me adequada, e a esperada, mas o grau de dificuldade é total e completamente desajustado para um 2º ano. Quase que me arrisco a dizer que o Ministério espera que os alunos, no final do 2º ano, estejam preparados para frequentar o 6º ou 7º ano e não o 3º ano.
Ora vejamos algumas questões
O enunciado é de fácil interpretação para um aluno de 2º ano? Não me parece…  Pergunta deles “Mas onde é que está desenhada a figura 4? A figura 10, qual figura 10?” Mais, grande parte dos alunos de 6º e 7º ano não achariam a esta questão de caracacá mas, em última instância, conseguiriam chegar lá desenhando as figuras seguintes; não acredito que a grande maioria dos alunos de 2º ano o consigam fazer, a 4ª figura talvez, agora a 10ª, por favor, tenham dó e paciência…

 

Associar a figuras a múltiplos de 3 ou desenhar a sequência até à 27ª figura (dizem os critérios de correção). Deixa-me rir antes que me esqueça! 2º ano????

 

Primeira e maior dificuldade: perceberem a que retângulo se referem. Segunda: interiorizar que A, B e C são iguais e inferir que a largura de B e C é metade do comprimento de A e que esta corresponde também à largura de A. Terceira: saber colocar na figura as medidas que encontrou fazer as continhas para obter o perímetro. No mínimo arrevesado, este enunciado! 2º ano?! Ahahahaha?!

Podem-me dizer que é só uma questão de contar, sim, sim, a visualização geométria, no 2º ano, está desenvolvida para num desenho (2D), faces e arestas e perceber a simbologia de uma aresta a tracejado? Pergunto eu, que no 10º ano apanho vários com este assunto “mal resolvido”.

Gosto particularmente desta: os pratos da balança, qual é o aluno de 2º ano que conhece e sabe como funciona uma balança de braços? Aprecio, particularmente, o cuidado na linguagem científica: medida de massa, que eu saiba as balanças medem uma força, a força não é um massa, o peso, sim, é uma força, ou esta noção física mudou no entretanto e eu não me apercebi? Rigores à parte qual é o aluno, no 2ºano,  que sabe o que é uma medida de massa, conteúdo lecionado e explorado no 3º e 4º ano. Este é um exemplo típico para iniciar o estudo de equações no 7ºano, com o equilíbrio dos braços da balança e nunca, começo com um tão díficil! 2º ano, socorro!

Os Deuses e os senhores do IAVÉ, em particular, devem estar louco ou então sou eu que vivo numa realidade alternativa (aquela que trabalha com alunos).
Sinceramente, acho que grande parte desta prova de aferição dava um belíssimo teste diagnóstico de 6º ou 7ºano! Não sei se me faço entender…
Na minha modesta opinião, são muitas as questões com um grau de dificuldade elevado a nível do raciocínio, abstração e visualização geométrica para alunos de 2ºano. Obviamente que a minha análise se baseia no que conheço dos alunos a partir do 7ºano…
Toda esta prova e conjuntura me leva a crer que não foi um erro de “casting”, foi deliberado e tem um objetivo que nada tem a ver com aferir conhecimentos. Não sou grande apologista da teoria da conspiração mas… desconfio que vai sobrar para os mesmo de sempre e cumprir o seu propósito.
Arriscaria ainda dizer, pelo que tenho ouvido, que os Exames Nacionais seguem a mesma linha. Lamento muito pelos verdadeiros lesado, os alunos, mas há gente muita pequena que não olha a meios para atingir os seus fins e… as eleições são só em 2019!
Espero, sinceramente, estar enganada mas nesta altura do campeonato, e não é do mundo, quase nada já me surpreende! Aguardemos pois então…

Alternative Math

Muito, muito bom!
Uma pequena curta metragem cheia de relevações para o que, possivelmente, se avizinha.
Eles andem aí, ainda não pousaram mas já pairam, à espreita… Eles, os extraterrestres extraordinários!

Por cá, diria que já estivemos bem mais longe… deste tipo de “flexibilização”. Basta analisar, com cuidado e atenção, a contabilidade criativa de António, o 1º, e o seu séquito!!!!

Lógico!

De tempos a tempos, mas, especialmente, nas últimas semanas de aulas, costumo desafiar os meus alunos com uns simples, antigos e conhecidos, problemas lógicos: o lobo, a ovelha e a couve; os missionários e os canibais; os pais, mães, filhos, o prisioneiro e o polícia.
Invariavelmente, há sempre dois ou três alunos que respondem “Professora, isso é muito fácil!”, seguros de si pois já ouviram falar dos problema ou tentaram/conseguiram ou viram a solução dos mesmos.
A 1ª tentativa para resolver o problema mais simples é atribuída, de imediato, a um destes 2 ou 3 alunos cheios de confiança. Aquele a que eu chamo o meu voluntário forçado.
Ele/a segue contente,  cheio de confiança, prestes a fazer um brilharete perante os colegas e a professora.
Eu sorrio-lhe!
Apresento o problema a todos e explico as premissas do mesmo, ou seja as regras do jogo. Começamos sempre com o problema mais simples o da ovelha, da cabra e do lobo.
“Let the games begin! O computador é todo seu!” anuncio.
O voluntário pensa, hesita, avança e… falha, redondamente, na 1ª tentativa e olha para mim frustado e os colegas olham-no espantados, desiludidos porque afinal aquilo também lhes parece ser muito simples
Eu sorrio e sei que na minha expressão está estampado um verdadeiro e prazeiroso “Eu avisei!”, a maioria das vezes, não me contenho, e verbalizo-o.
Regra geral, um dos dois que não foi eleito voluntário forçado diz, entre risos, “Fogo! A professora não perdoa!”.
O voluntário frustado, sente a necessidade de provar que é capaz, que aquilo foi apenas uma distração (e muitas vezes foi) e tenta novamente sobre o olhar atento e avaliador dos colegas.
A experiência diz-me que muito raramente conseguem fazer na primeira tentativa. Alguns conseguem na 2ª tentativa, a maioria, consegue à 3ª tentativa… isto no problema mais simples e elementar.
Aproveito sempre esta experiência para enfatizar que mesmo o que parece ser elementar e simples, é preciso analisar com cuidado, pensar, colocar as engrenagens a funcionar, que, às vezes, estão mal oleadas ou não estão “bem alinhadas”. Errar, 1, 2 , 3  ou várias vezes, faz parte do processo, chama-se aprimorar a técnica, ou perceber a mecânica do jogo ou do raciocínio, com as regras do jogo bem interiorizadas, tudo segue com mais rapidez e fluidez, o importante é não desistir.
Passamos para o problema seguinte, grau de dificuldade um bocadinho maior, há vários voluntários, aqui as tentativas são muitas, face aos sucessivos erros, os palpites e sugestões são mais que muitas, vários tentam e cometem, exatamente, os mesmos erros que criticaram nos colegas que tentaram, anteriormente, alguns enervam-se “Não estás a ver que tens que fazer assim?” dizem para o colega mas quando tentam e não conseguem… enervam-se ainda mais “Professora, isto é impossível!”.
É uma dinâmica engraçada de observar.
Quando a coisa empanca, dou uma dica discretamente, eles processam, tentam e avançam! E assim vamos avançando de problema em problema, aumentando sempre o grau de dificuldade e com alguns alunos, não necessariamente os melhores, avançamos pelo intervalo a dentro.
O engraçado é que se, uns meses mais tarde, lhes apresentar um problema similar, cometem, na 1ª abordagem, os mesmo erros! Eles e… eu 🙂 , eu sou estou mais habituada ao processo!
Nada com experimentar e dar a conhecer à vossa pequenada! (Cada imagem corresponde a um dos “jogos” e estão ordenados por grau de dificuldade)

PordataKids

Muito interessante e apelativo o site da PordataKids para miúdos e graúdos.
Uma excelente fonte de informação variada e curiosa para os miúdos explorarem e/ou utilizaram em trabalhos escolares e/ou sobre estatísitca! Observando, atenta e comparativamente, permite ver sobre outra luz o “nosso mundo” e o “Mundo”.
Muito interessante e apelativo o site da PordataKids para miúdos e graúdos. Vale a pena explorá-lo com olhos de ver.

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Observando os dados relativamente ao lixo e à reciclagem constata-se que:
(A) Lixo separado em 2016: 775 695 toneladas
(B) Lixo reciclado, em 2016: 675 732 toneladas
(A)-(B)= 99 963 toneladas
Provavelmente, sou eu que estou a ver e/ou a interpretar mal mas desconfio que esta diferença se deve também a isto, digo eu, que sou má língua e tenho mau feito mas que gosto de observar números, entre outras coisas.

Medalhas Fields ignoram o relógio biológico das mulheres

(…) As Medalhas Fields consituem o mais prestigiado prémio internacional na área da Matemática. São atribuídas pelo ICM (Internacional Congress of Mathematicians), que existe desde o século XIX e têm a particularidade de, como os Jogos Olímpicos, se realizarem apenas de quatro em quatro anos. (…)
Em quase sete décadas de Medalhas Fields, estas foram dadas independentemente da raça, credo político ou da religião. No entanto, a lista das 56 Medalhas Fields até hoje ganhas revela um facto surpreendente: apenas uma foi atribuída a uma mulher – Maryam Mirzakhani, em 2014.
Porquê? Será que as mulheres não têm vocação para a Matemática, talvez por esta ser “demasiado abstracta”? Será que as mulheres matemáticas por mais competentes que sejam, não atingem o nível de excelência necessário a uma Medalha Fields? Será, afinal de contas, a Matemática uma ciência misógina? Ou serão os júris das Medalhas Fields, compostos por uma grande maioria de homens, uma espécie de “Clube do Bolinha”, que discrimina as mulheres?
A resposta é menos conspiradora: a regra dos 40 anos [a medalha Fields só pode ser atribúída a matemáticos com menos de 40 anos] é objetivamente penalizadora para as mulheres.
Pensemos um pouco. Um matemático fora de série, depois da licenciatura e do doutoramento, estará a fazer investigação autónoma a todo o vapor a partir dos 25 anos. Tem portanto, uma janela de 15 anos, até aos 40, de trabalho intensíssimo se pretende ser candidato à Medalha Fields. Nada o pode distrair dos teoremas. Nada de nada (…)
O relógio biológico da mulher é muito mais implacável do que o do homem; esta janela de 15 anos corresponde também ao seu período fértil durante o qual, querendo constituir família, terá filhos. Ora, a concentração total em objectos matemáticos estratosféricos é difícil de compatibilizar com enjoos e ecografias, amamentação e cólicas, mudanças de fraldas e noites em branco. E, apesar dos muitos avanços civilazionais a registar quanto a este ponto, é um facto que o homem médio não partilha totalmente as tarefas da vida familiar com a mulher, sendo esta, em geral, mais sobrecarregada.
Existem grandes matemáticas no século XX e XXI, como se pode facilmente verificar; mas são muito raras as que produzem os seus melhores trabalhos matemáticos antes dos 40 anos. E este atraso devido ao relógio biológico distorce decisivamente o universo dos candidatos elegíveis a Medalha Fields, que são na sua grande maioria homens.
Podemos agora apreciar melhor o que aconteceu no ICM de 2014. (…)
Mirzakhani foi um meteoro que rasgou os céus da Matemática, que quebrou todos os tabus e tectos de vidro com o seu brilhantismo, que mostrou que a Matemática não tem género, nem nacionalidade, nem religião. Foi a primeira mulher a ganhar a Medalha Fields, considerado o Prémio Nobel da Matemática.(…)
A Medalha Fields tem várias regras específicas, entre as quais a de só poder ser atribuída a matemáticos com menos de 40 anos. Numa espécie de amarga ironia cósmica, exatamente a idade com que Mirzakhania desapareceu.
Maryam Mirzakhani foi uma matemática  iraniana, professora na Universidade de Stanford. Nasceu e cresceu em Teerão e quando era criança tinha o sonho de ser escritora. Mais tarde descobriu a Matemática; curiosamente, começou por não ser muito boa aluna. Afirma que na altura não tinha verdadeiro gosto pela Matemática: “Sem entusiasmo, compreendo que a Matemática pareça fria e sem significado. A beleza da Matemática só se revela aos seguidores mais pacientes.” (…)
A sua tese de doutoramente, terminada em 2004, não só resolvia um problema geométrico tremendamente difícil como, pelo caminho, estabelecia novas ligações e resolvia outros dois problemas até aí considerados independentes. Resolver um só destes problemas isoladamente teria sido extraordinário: 99% dos matemáticos jamais atingirão um resultado comparável. (…)
Desde então Mirzakhani espandiu o espectro de áreas em que trabalhava. “Gosto de cruzar as fronteiras imaginárias que as pessoas erguem entre as diferentes áreas”, afirmava “Há imensas ferramentas à disposição e nunca se sabe quais podem funcionar. É preciso ser otimista e tentar relacionar as coisas.” (…)
O legado de Maryam Mirzakhani é muito maior que os seus teoremas. No seu Irão natal os seus feitos elevam-na à condição de heroína nacional. A sua figura e os tabus que quebrou são marcantes numa cultura atávica em relação à condição feminina, sinalizando a necessidade de mudança. (…) sendo hoje um dos principais rostos de um movimento, ainda tímido e incipiente, da igualdade de direitos para a mulher numa socidade profundamente conservadora”
Crónica “Mirzakhani – Glória e tragédia no feminino” de Jorge Buescu na revista Ingenium de julho 2017

Exposição do Escher

Declaração de intereses – Sou suspeita para falar pois há muito que sou fã da obra do Escher, utilizo-a e dou-a a experimentar, aos meus alunos, as suas pavimentações, para que rapidamente descobram que é difícil reproduzir e imitá-lo, mesmo conhecendo a sua técnica; só alguém com um enorme talento, criatividade, visualização do espaço e imaginação poderia alguma vez ter produzido tamanha beleza, unindo,indiscutível e elegantemente, a matemática e a arte.
Tendo visitado o seu museu em Haia, achei que a exposição sobre a sua vida em obra que estará no Museu da Arte Popular, em Lisboa, até finais de maio de 2108, não acrescentaria muito ao que por lá tinha visto e fui aprendendo ao longo dos anos, enganei-me redondamente. É sempre bom sentir e observar as obras de Escher, há sempre um pormenor, ou vários que nos escaparam, mas o principal motivo da visita à exposição era, especialmente, dá-lo a conhecer melhor à pequenada da casa, que também já tinha visto algumas coisas dele, motivados pelos trabalhos dos meus alunos que viram.
Com expectativas elevadas e ânimos leve, numa tarde bastante fria de dezembro, rumámos à exposição do Escher.
Trinta minutos na fila para comprar o bilhete e poder entrar, a exposição estava superlotada, e depois foi o admirável mundo novo, andámos por lá mais de duas horas, acompanhados de audioguias (incluídos no preço mas não esquecer de pedir no balcão ao lado da bilheteira). Primeiramente, deixámos a pequenada andar à vontade e eles entretiveram-se sozinhos a observar e a ouvir as explicações dadas pelo audioguia, fazendo as experiência que foram aparecendo, vibraram.  Depois, numa segunda abordagem, explorámos em conjunto as litografias mais importantes, chamando a atenção para determinados detalhes e transformações e explicamos-lhes os “resultados” e a sua razão das experiências realizados, entrámos na sala dos espelos e vimo-nos até ao infinito, uma canseira de nós, portanto… Os miúdos vibraram e ficaram verdadeiramente surpreendidos com a Exposição do Escher. Não deixem de visitar porque vale muitooooo a pena mas como comecei por dizer: eu sou suspeita na matéria.

Para aguçar a curiosidade e a vontade de visitá-la ao vivo, aqui fica um pequeno registo fotográfico e não só.

Escher no início da carreira

Imagens do 1º livro – ilustrações de alguns ditados holandeses

O seu fascínio por Itália, destino que visitou e com amigos, e onde viveu durante uns tempos com a mulher, primeiro em Roma, onde se dedicou a observar e desenhar os monumentos à noite. Mais tarde, o sul de Itália e as suas paisagens retém grande parte do seu interesse

A música de Bach e obra de Escher

De visita a Espanha, encantou-se com os azulejos cheios de padrões do Allambra e da Catedral de Córdova. A partir daí começa a dedicar muito do seu tempos ao estudo da divisão do plano e às suas famosas pavimentação, repletas de “objetos da natureza”

Reflexões e simetrias

Metamorfose: uma das suas maiores litografias e a mais famosa (Foi a única litografia, das mais famosas a que tirámos fotografia pois nas restantes de tão embrenhados que estávamos nem nos lembrámos mas estão lá todas expostas: Belvedere, Dia e a noite,…)

As experiências interativas

O IKEA tem espírito: publicidade a movéis e cadeira inspirada nos objetos impossíveis de Escher; para alguns a montagens dos movéis do IKEA são mesmo impossíveis.

O Escher e as capas de discos de vinil.
Em 1969, Escher recusou fazer a capa do disco dos Rolling Stones, alegando falta de tempo, apesar de já ter feito várias capas para outros artistas e bandas de renome. Dizem as más línguas que Escher não apreciou a forma familiar e bajuladora como Mick Jagger se lhe dirigiu, “Caro Mauritius”, na carta que continha o pedido dos Rolling Stones. Solicitou ao seu agente para recusar o pedido, pedindo-lhe que transmitisse que, para eles, ele não era “Mauritius” mas sim “M.C. Escher”. O respeitinho é bom e o Escher apreciava-o ao que parece!

O Escher nos filmes, nas bandas desenhadas e na mítica série dos Simpson

Escher sob outra luz

Escher na música

Nas proximidades: um bonito por de sol

Dados curiosos

As alterções climáticas no nosso país nos últimso anos

Nós, no nosso país, o que fomos e o que somos, em números

As nossas “poupanças” comparando com outros países da Europa

O número de filhos de então e os de agora

O sucesso da nossa imprensa na última década e meia

A página da PORDATA no livro das caras é daquelas que merece um verdadeiro LIKE, mostra-nos as coisas sobre outra perspectiva, a dos dados recolhidos, a dos números. Este foi apenas um pequeno apanhado do que por lá se foi publicando nos últimos tempos e que me chamou a atenção.
Nunca esquecer que se deve sempre ter em atenção o tratamento que é feito dos dados, a sua contextualização e as comparações realizadas e a importância de utilizar o nosso sentido crítico fazendo uma pergunta simples “Esta comparação ou os parâmetros avaliados fazem sentido?”. Os números não são, nem nunca serão, tudo e, por vezes, bem manipulados e trabalhados, transmitem-nos apenas a ideia que alguém quer fazer transparecer, e não, isto não é a teoria da conspiração, é um facto, comprovado pelos números (eheheheh, ironia das ironias).

Um passeio, ao género de cronologia, matemático

“Feitos” na área Matemática dos finais do século XX e XXI encontrados no Jardim do Campo Grande, em frente à Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.
A minha má língua levou-me a questionar, mas não tive tempo de verificar, se haveria algo do semelhante, ou de que outro género poderia ser, do outro lado do Jardim, em frente à Universidade Lusófona. Enfim… cenas parvas que me ocorrem… ou então não!
Mas é, sem dúvida, um belo e elucidativo passeio matemático, bem conseguido. Andei por lá uns 10 minutos a mirar o chão atentamente, a reavivar a memória e interirar-me de alguns factos que desconhecia e a malta que passava a olhar para mim do tipo, “Ele há gente mesmo estranha”. Nada de novo portanto…!

Um visionário – o maior matemático português!

Pedro Nunes representa para muitos apenas o nome de uma famosa, e reputada, escola lisboeta ou alguém que já teve a sua face estampada nas antigas moedas de 100$00. Para outros é também o matemático português, cosmógrafo do rei, professor da universidade de Lisboa e de Coimbra, e inventor do nónio (permitia medir com rigor frações de grau, nos astrolábios e quadrantes).
Pedro Nunes foi isto tudo mas muito, muito mais!
Na segunda metade do século XVI, Pedro Nunes era um matemático de referência, muito respeitado internacionalmente, constando o seu nome em vários livros de álgebra da época, a par com nomes como Euler.
Pedro Nunes foi o mais importante matemático português de todos os tempos, que deixou inúmeras obras, escritas em latim, que só recentemente foram estudadas, traduzidas e publicadas em português, por Henrique Leitão, dando assim a conhecer e a valorizar o seu enorme saber, suscitando a curiosidade e interesse de toda a comunidade científica.
No seu livro “Sobre a arte e a ciência de navegar” apresenta a navegação como ciência matemática, a arte essa é para os pilotos; uma matemática complicada e avançada, acessível/compreensível apenas para o maiores matemáticos da Europa. Talvez por isso, só mais tarde, a navegação tenha tirado partido da sua teoria, no século XVII, Pedro Nunes era o matemático com mais influência na nautica holandesa e inglesa.
Como principal legado, deixou a noção de Linha de Rumo, mais tarde denominada curva loxodrómica, “um caminho que seguisse sempre a mesma direcção cardeal, faria uma espiral que daria um número infinito de voltas à roda dos pólos da Terra (as únicas linhas de rumo circulares são os meridianos e os paralelos, que correspondem aos ângulos de rumo de zero e de noventa graus em relação ao eixo norte-sul). De igual modo, verificou que a menor distância entre dois pontos da superfície da Terra é uma ortodromia, um seja, um arco do círculo máximo que passe pelos dois pontos. Chegou assim à conclusão que os mapas deveriam ter duas propriedades: a de preservação de ângulos, e a representação de linhas de rumo por linhas rectas.”  Um estudo complicadíssimo e sofisticado quando ainda não era “utilizado” o cálculo diferencial. Esta curva, o seu estudo e consequências, foram discutidas durante cerca de 150 anos, após Pedro Nunes. Apesar de não ter aplicado, os seus estudos e conclusões na elaboração de novos mapas para navegação, são eles que estão na base dos mapas de Mercartor, que revolucionaram a cartografia. É inegável a enorme influência e a sabedoria de Pedro Nunes.
É também Pedro Nunes que apresenta, ao mundo ocidental, em latim, uma estimativa do  π, utilizando o método de Arquimedes.
Três homens estudaram, e publicaram, sobre a navegação num barco a remos, Arquimedes, Euler e Pedro Nunes. Pedro Nunes figurar entre estes dois famosos ilustres da ciência é uma honra que lhe é bem merecida.
No século XVI, Pedro Nunes demonstrou matematicamente algo, “contra natura” que só foi observado no final do século XIX – a retrogradação das sombras na zona trópica (entre o equador e o trópico de Cancer) – a sombra regride, anda para trás. Esta sua demonstração, lançou uma discussão durante séculos, até ter sido observada num relógio de sol, 3 séculos depois, por Camille Flamariom. A matemática é uma ciência poderosa, especialmente, quando usada com maestria.
Tivemos outros matemáticos importantes (entre o século XV e o século XVII) como Álvaro Tomás, Francisco de Melo (muito conceituado na universidade de Paris), Luís Teixeira (campo magnético no mapa mundi) cujas obras começaram apenas, recentemente, a ser estudadas e publicadas.
Naquela época fomos, efetivamente, Grandes, em muitos campos e áreas!!!!!

Texto da minha autoria, passível de ter erros e sujeito a correções e acrescentos, com base, essencialmente, nos apontamentos que tirei na muito interessante conferência “História da Ciências e Ciências na História” dada pelo Doutor Henrique Leitão e também de alguma pesquisa minha nas internets.

Narcisistas

Narcisistas são aqueles que estão apaixonados por si próprios, parece que os há por aí em todas as comunidades. A Matemática não é exceção e constatou que também na sua comunidade existem os narcicistas: os números, obviamente.
Prova-se que, na base decimal, os números narcisistas são apenas 88 (infelizmente, este reduzido número de narcisistas não se aplica às pessoas, matemáticos incluídos). Curiosamente, o maior número narcisista é grande – tem 39 dígitos.
Mas afinal o que é um número narcisista? É um número que pode ser obtido através da soma de cada um dos seus dígitos elevado ao seu número total de algarismos.
Por exemplo:
Lista dos primeiros números narcisistas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, …
Qual a utilidade dos números narcisistas? Nenhuma em particular, é aquilo que nós chamamos matemática recreativa, afinal cada uma entretém-se como entende, a malta dos números gosta destas particularidades e coincidências! Há pancas piores…

Curiosidade: quem me apresentou estes narcisistas – os números, claro, foi excelentíssimo esposo que os encontrou, não sabe bem como, durante uma das suas pesquisas no bruxo google, e lhes achou piada, dizendo “Podias fazer um post sobre eles, os números, como é óbvio? Ora aqui está ele!!! Mensagens subliminares à parte…

“5 mitos sobre os Professores de Matemática”

“É verdade…. Existe uma imagem pré-concebida acerca dos professores de Matemática. Sempre que digo que sou Professor de Matemática, as pessoas ficam impressionadas com tamanha faceta (como se eu fosse de uma espécie rara). Há certas qualidades e características que são aceites como obrigatórias para todo o Professor de Matemática. Funcionam como se fossem requisitos imprescindíveis para quem ensina a dita “disciplina dos números”.

1º Mito – O Professor de Matemática não faz contas
Pois é…. Nenhum professor de matemática é uma máquina de calcular, nem um computador. Poucos são os seres humanos que conseguem fazer 9389×1489 em 5 segundos. Porque é que as pessoas pensam que os Professores de Matemática têm a obrigação de a fazer de cabeça e rapidamente?

Lamento. Eu preciso ou de papel e lápis ou de uma máquina de calcular para o fazer (relativamente a esta última, que moderna é esta geração de professores… antigamente é que era a sério! Era tudo feito a papel e lápis…)
Como costumo perguntar ás pessoas que me pedem para fazer cálculos não tão imediatos quanto pensam “Tenho CASIO escrito na testa?”.

2º Mito – O professor de matemática pensa como qualquer outro profissional (sem fórmulas, nem desenhos geométricos imaginários a circular à volta da sua cabeça)
Quando o “comum mortal” pensa no professor de matemática é muito comum lembrar-se daquela imagem típica… Uma pessoa com um olhar pensativo e há volta da sua cabeça fórmulas matemáticas, desenhos geométricos, raízes quadradas de expressões estranhas (e que nem fazem sentido sequer) e outros tantos disparates. 
Pois é. Somos como qualquer outro ser humano. Agimos de forma normal.
Não precisamos de fazer cálculos para conseguir encestar a bola no cesto de basquete ou para acertar na baliza. Muito menos imaginar triângulos retângulos…. Simplesmente chutamos e aguardamos que este chegue ao seu destino.

3º Mito – Não é requisito o professor de matemática usar óculos
É um facto que os uso, mas nem todos os membros da comunidade matemática os têm. 

Se usamos óculos é por necessidade e não por ser requisito obrigatório. É apenas por questões de saúde e para que nenhuma variável nos escape naquele momento em que temos de olhar para o problema no seu todo… E por falar em problemas…

4º Mito – O professor de Matemática resolve problemas e procura soluções eficientes e eficazes
Como dito no 1º mito, não! Nós não fazemos contas! A Matemática é a disciplina da resolução de problemas por excelência. 

Como costumo dizer e sem a intenção de ferir suscetibilidades), os contabilistas fazem contas, os engenheiros põem em prática fórmulas e teorias a problemas reais. Já os matemáticos tratam de arranjar as soluções mais rápidas e menos trabalhosas para qualquer tipo de problemas. Arriscaria a dizer… O nosso lema é “Fazer muito pouco por muito”.
E não há nada como o momento certo de gritar “Eureka!” e é tudo uma questão de encaixar as peças do puzzle. Não há cá milagres, magia negra e outras tantas coisas que se dizem por aí. Costumo pensar na Matemática como um jogo de estratégia em que para o ganhar basta: idealizar um plano; cumprir as regras do jogo; selecionar a informação; juntar tudo de forma lógica e de modo a fazer sentido; analisar a resposta para ver se faz sentido para o que se pretende.

5º Mito – Os professores de Matemática não pensam exclusivamente (e apenas) em Matemática
Somos pessoas que se conseguem divertir. Gostamos de ir ao cinema, de ir a um bom concerto de rock, de descansar… E vá! Também sabemos contar piadas de todo o tipo (“secas” e não “secas”) e ter piada com essas piadas. 

Fazemos tudo o que todos os outros fazem. Não somos os “cromos” que ficam sentados, durante noites e dias a fio, à secretária a pensar exaustivamente naquela equação (sim… tem de ser sempre uma equação!) impossível de resolver. 
O professor de Matemática é um profissional que sabe distinguir e regular as suas necessidades profissionais e as suas necessidades pessoais.

Em suma… Acima de tudo, com este texto pretendo chamar à atenção para o facto de que existe uma grande diversidade de profissionais ligados ao ensino da Matemática, como existem ligados a tantas outras áreas disciplinares. Os professores são pessoas como todas as outras. Trabalham, passeiam, convivem, divertem-se… E os professores de Matemática não são exceção. 
Uma coisa é certa e isso garanto-vos… Não há nada como ter um professor de matemática lá em casa! Nunca se sabe quando poderão dar jeito (e não é para fazer a contabilidade doméstica). 

Texto de João Carlos Terroso, surripiado aqui

Azulejos didáticos

Supõe-se que, provavelmente, eram centenas, embora apenas se conheçam 23, datam de meados do século XVII, feitos em Portugal, contém proposições e demonstrações matemáticas contidas nos primeiros livros dos Elementos de Euclides e “ilustradas e reproduzidas” por Tacquet (padre jesuíta). Tudo indica que estiveram expostos em salas de aula de matemática num colégio da Companhia de Jesus (jesuíta), de Coimbra, por volta de 1692 até 1759 (ano em que os jesuítas foram expulsos de Portugal).
No século XVI e XVII, houve bastantes Jesuítas, espalhados pelo mundo, com um papel importante no estudo da Matemática e da Ciências mas, em Portugal, (pre)dominava a corrente filosófica. Talvez este facto esteja na origem das indicações do Geral da Companhia de Jesus, Tirso Gonzales, que, em  1692, enviou para Portugal as Ordenações para estimular e promover o estudo da Matemática na Província Lusitana, onde se pode ler:

“Quinto: Procurem primeiro os Superiores dos colégios de Coimbra e Évora que cada um dos nossos filósofos tenha necessariamente para seu uso os seis primeiros livros dos Elementos de Euclides que contêm os elementos de geometria plana. São muito convenientes os que compôs o P. Andreas Tacquet […]. Na escola, ou em qualquer outro lugar destinado às demonstrações deve ser exposto um quadro das figuras principais, maior e mais amplo, que será comum a todos, e a que se deve adaptar um compasso para a demonstração das figuras […].”

Declarações que podem estar na origem, justificar a existência e os fins a que se destinavam estes azulejos, os azulejos que ensinam, ou didáticos como ficaram conhecidos. Os azulejos didáticos foram “eliminados” das salas de aula com a Reforma Pombalina, altura em que surgiu, em Inglaterra, uma outra edição dos Elementos de Euclides, com figuras e construções diferentes das de Tacquet, tendo muitos deles sido destruídos e entulhados. Nos dias de hoje, encontram-se espalhados por diversos museus nacionais e por colecções particulares mas não há duvidas que foram um género de powerpoint do século XVII e XVIII e ensinaram ciência nos colégios jesuítas em Coimbra.

Referências, fontes e imagens

Em Lisboa, no que hoje é o Hospital de São José, funcionou, desde o século XVI e durante cerca de 170 anos, o Colégio de Santo Antão (pertencente também aos Jesuítas).
A “Aula Esfera”, do Colégio de Santo Antão, é criada, por ordem e poder real do monarca D. Sebastião, através do cardeal D. Henrique, com a condição que nela se lecionasse Matemática e matérias de desenvolvimento e aprofundamento científico.
Entre finais do século XVI e meados do século XVIII, a “Aula Esfera” foi a mais importante instituição de ensino e prática científica de Portugal, onde depressa chegavam, através da “rede de comunicação” dos Jesuístas, os estudos feitos em outras parte do mundo. A “Aula Esfera” teve um papel crucial no estudo da astronomia e cosmografia num país de navegantes. Por exemplo, em 1612, na “Aula Esfera” já se estudavam as leis de Galileu e construíam telescópio.
Durante o século XVII, a “Aula Esfera” teve em média 2000 alunos anualmente. Durante o seu período de funcionamento, cerca de 300 cientistas, 1/3 estrangeiros, e estudioso, alguns figuras proeminentes da época, lecionaram na “Aula Esfera”. É inegável a enorme importância da “Aula Esfera” no estudo das Ciências e das Matemáticas e do seu papel na história da ciência em Portugal.
A “Aula Esfera” também estava repleta de azulejos alusivos às matérias ali estudadas e abordadas, contendo várias referências à matemática e à astronomia. A “Aula Esfera” funcionava, no espaço que hoje é o auditório do Hospital de São José, vários azulejos emblemáticos das atividades desenvolvidos no Colégio de Santo Antão podem ser encontrados na Biblioteca do Hospital de São José. Azulejos muitos semelhantes podem ser encontrados, em Évora, nas salas de aula do Colégio Espírito Santo.

Para saber muito mais sobre a “Aula Esfera”, fontes e imagens

Mundurukus

“Pica é linguista (…) e está ao serviço do Centro Nacional de Investigação Científica francês. Durante os últimos dez anos o alvo do seu trabalho têm sido os mundukuru, um grupo indígena de cerca de 700 pessoas que vive na Amazónia brasileira, que são caçadores-recoletores que vivem em pequenas aldeias espalhadas (…). O que interessa a Pica é a linguagem dos munduruku, a qual não tem tempos diferenciados, nem plurais, nem palavras para números superiores a cinco.
(…)
Mais de um mês após ter partido de Paris, Pica estava finalmente a aproximar-se do seu destino. Como era inevitável, eu quis saber quanto tempo demorava a chegar de Jacareacanga às aldeias.
Mas Pica já estava visivelmente impaciente com a minha linha de inquérito:
– É a mesma resposta para tudo: isso depende!
Mantive-me firme. Quanto tempo demorara desta vez
Ele gaguejou:
– Não sei. Creio que… talvez… dois dias… um dia e uma noite…
Quanto mais eu insistia com Pica em busca de factos e de números, mais relutante ele se mostrava em mos fornecer. (…)
– Quando regresso da Amazónia perco o sentido do tempo e o sentido do número, e talvez o sentido do espaço-, disse-me ele. Esquece-se dos encontros combinados. Fica desorientado com simples indicações. (…)
A incapacidade de Pica para me fornecer dados quantitativos fazia parte do seu choque de culturas. Passara tanto tempo entre gente que mal sabe contar, os munduruku, que perdera a capacidade de descrever o mundo em termos de números.
(…)
Achei estranho que os números superiores a cinco não surgissem de todo na vida quotidiana da Amazónia. Perguntei a Pica como é que um índio responderia (…) Se perguntássemos a um munduruku que tivesse seis filhos, “Quantos filhos tem?”
– Ele diria “Não sei”. É algo impossível de exprimir
No entanto, Pica acrescentou que era uma questão cultural. (…) Por que quereria um munduruku adulto contar os seus filhos? pergunta Pica. As crianças são cuidadas por tos os adultos da comunidade, disse-me ele, e ninguém conta quem pertence a quem.
(…)
Alguns mundurukus que vivem nas margens do seu território aprenderam português (…)
– Eles sabem contar um, dois, três até às centenas – disse Pica – A seguir perguntamos-lhes “Já agora, quanto é cinco menos três?”. Eles não fazem a mínima ideia.
(…)
O estudo das capacidades matemáticas de pessoas que somente dispõem da capacidade de contar por uma das mãos tem por objetivo descobrir a natureza das nossas intuições numéricas básicas. Pica pretende saber o que é universal a todos os humanos, e o que é configurado pela cultura.
(…)
Numa das suas experiências mais fascinantes, Pica examinou o entendimento espacial que os índios tinham dos números. Como visualizavam os números dispostos ao longo de uma linha? (…)
Os resultados foram espantosos. Em geral considera-se ser uma verdade óbvia que os números estejam espaçados de modo igual. Aprendemos isso na escola e aceitamo-lo facilmente. É a base de toda a medida e de toda a ciência. No entanto os munduruku não vêem o mundo assim. Eles visualizam as magnitudes de uma forma muito diferente.
Quando os números estão dispostos a espaços iguais numa régua, a escala chama-se linear. Quando os números se aproximam à medida que aumentam, a escala chama-se logarítmica. Sucede que a aproximação logarítmica não é exclusiva dos índios da Amazónia. Ao nascer, todos nós concebemos os números deste modo.
(…)
Por que pensam os índios e as crianças que os números maiores estão mais juntos do que os menores? (…)Imaginemos que um munduruku é confrontado com cinco pontos. Ele irá estudá-los de perto e ver que cinco pontos são cinco vezes maiores que um ponto só, mas que dez pontos são apenas duas vezes maiores do que cinco pontos. Os munduruku e as crianças parecem efetuar as suas decisões acerca do local adequado para os números por meio da estimativa das relações entre quantidades. Ao considerarem as relações, é lógico que as distâncias entre cinco e um é muito maior do que a distância entre cinco e dez. E quando se avaliam as quantidades fazendo uso das relações, produz-se sempre uma escala logarítmica.
Pica acredita que compreender as quantidades aproximadamente em termos de estimativa de relações é uma intuição universal humana. (…) Por contraste, compreender as quantidades em termos de números exatos não é uma intuição universal; é um produto da cultura. (…) Pica sugere dever-se ao facto de as relações serem muito mais importantes para a sobrevivência na natureza do que a capacidade de contar. Perante um grupo de adversários brandindo lanças, precisávamos de saber instantaneamente se haveria mais deles do que dos nossos. Quando víamos duas árvores precisávamos de saber qual delas tinha mais frutos pendentes. (…)
A escala logarítmica  também é fiel ao modo como as distâncias são percebidas, o que é um possível motivo para ela ser tão intuitiva. Leva em consideração a perspetiva. Por exemplo, se virmos uma árvore a 100 metros e uma outra 100 metros atrás dessa, os segundos 100 metros parecem mais pequenos. Para um munduruku, a ideia de cada 100 metros representarem uma distância igual é uma distorção do modo como ele percebe o seu ambiente.
(…)
Vivemos em simultâneo com uma compreensão linear e logarítmica da quantidade. Por exemplo, a nossa compreensão da passagem do tempo é muitas vezes logarítmica. Lembro-me dos anos da minha juventude decorrerem muito mais devagar do que os anos que agora parecem voar.(…) O nosso instinto logarítmico profundamente enraizado emerge com nitidez quando se trata em pensar sobre números grandes. Por exemplo, todos nós podemos compreender a diferença entre um e dez. (…) Mas qual é a diferença entre mil milhões de dez mil milhões de litros de água? (…) os termos milionário e bilionário são usados a esmo praticamente como sinónimos (…). No entanto, um bilionário é mil vezes mais rico que um milionário. Quanto mais altos são os números, mais próximos entre si eles nos parecem.
(…)
Pica disse que a investigação dele e de outras pessoas sobre as nossas intuições matemáticas poderá ter sérias consequências no ensino da Matemática – tanto na Amazónia como no mundo desenvolvido. Exigimos uma compreensão da linha dos números lineares para se funcionar na sociedade moderna – ela é a base da medida e facilita os cálculos. Porém, na nossa dependência da linearidade talvez tenhamos levado longe de mais a supressão das nossas intuições logarítmicas. Talvez, disse Pica, seja essa a razão por que tantas pessoas acham a matemática difícil. Talvez devêssemos prestar mais atenção à avaliação das relações do que à manipulação dos números exatos. Do mesmo modo, talvez seja errado ensinar os munduruku a contar como nós o fazemos, já que isso poderá privá-los das intuições ou conhecimentos matemáticos que são necessários à sobrevivência deles.”  

in “Alex no País dos Números” de Alex Bellos

Coisas que eu não percebo!

Reunião de pais, observando os testes de pequeno do meio, veio-me à memória uma observação sua sobre uma questão que tinha bem no teste de Matemática mas que a professora tinha colocado errado. Não liguei e, na altura, disse-lhe algo do género “Deves ter visto mal!”.
Folheando o seu teste de Matemática reparo que só poderia ser aquela a tal questão que ele referiu. Hesitei, pergunto, não pergunto, pergunto, não pergunto e… perguntei! “Porque tinham que contar todos e ver quantos estavam pintados… porque fizemos um igual na aula e eu disse-lhes que era assim que queria que fizessem… porque foi assim que eu lhes ensinei… Porque não queria frações equivalentes”.
Eu ouvi tudo, sem interromper, conhecendo-me, provavelmente, com um ar um pouco incrédulo, e respondi apenas “Sim, mas a resposta ao que é perguntado está certa e o raciocínio é válido!” ao que concluiu, dizendo “Sim, eu sei mas não era essa a resposta que eu queria que eles dessem!”.
Atenção, ela não ensinou, nem ensina mal, muito pelo contrário, e não é isso que está em questão, mas a avaliação das respostas não deve ser feita em função do que queremos mas do que pedimos. Não é pelos pontos, nem pelo estar certo ou errado, isso, para mim, é o que tem menos importância. A forma de “estar, ver e sentir” a matemática, subjacente à sua argumentação é que me desiludiu! Fiquei ainda mais triste por ter de dizer a pequeno do meio, quando ele me perguntou, “Sim, tinhas razão, a tua resposta estava correta!” e ele deu de ombros e disse apenas “Pois…”.

Gosto tanto da nossa imprensa

“Correção do exame de Matemática de 9º ano tem um erro, denunciam professores”

Primeiro não é a correção mas quanto muito os critérios de correção!
Segundo não são os professores é a SPM (Sociedade Portuguesa de Matemática) no seu parece sobre a prova: “A SPM lamenta verificar que, nos critérios de correção publicados pelo IAVE, no item 14 seja atribuída 75% da cotação a uma resposta integralmente errada.”

Terceiro, os critério não consideram esta resposta como certa, tanto que não lhe  é atribuída a cotação máxima.

Quarto, podemos concordar ou discordar dos critérios de correção mas a resposta em questão revela algum conhecimento dos casos notáveis e da fatorização de polinómios. É notório que quem escreveu o artigo não percebe um boi do que está em questão. Para que conste é isto

Quem trabalha com os alunos sabe que é recorrente este seu erro de não colocar parênteses. Se eu o classificaria assim, provavelmente não, se me choca esta pontuação, não, de todo, em anos anteriores já houve critérios bem mais difíceis de engolir!

Em quinto, é a SPM a dar azo a um feudo antigo que mantém com governos PS, não obstando que, no rigor matemática têm 4 pontos mas no conhecimento do trabalho com alunos devem ter perto de zero, caso contrário não se espantariam, nem estranhariam este critério. Lobby, feudos, cenas e coisas que a APM também faz questão de manter com os governos PSD, bem com os conhecidos entre APM e SPM.

Por último, o IAVE, já veio esclarecer, e muito bem, os doutores da SPM, senhores jornalistas e outros de mais!

Sem paciência para estas tricas e miudezas até porque gostei do exame, aliás, como regra geral, acontece.