Brilliant

Brilliant – é um belo site repleto de desafios divididos em 12 tópicos das áreas da Matemática, Ciência e Engenharia! Bom para exercitar e entreter a mente, rever e aprofundar conceitos.
Subscrevendo, todos os dias, nos enviam um mail com um desafio (várias opções de resposta em que só um está certa) sobre qualquer um dos tópicos e, de tempos a tempos, os challenges do “Keep the streak alive!” que apresenta mais 5 problemas sobre um determinado tópico, acertando vai-se “subindo” de nível e passando aos problemas mais difíceis! Gosto muito, recomendo para “cabecinhas pensadoiras”!!!

A Geometria de Almada Negreiros

“Uma maneira de ser moderno” foi a exposição de Almada Negreiros, patente até há bem pouco tempo na Gulbenkian, que bateu recordes de bilheteira.
No início da exposição, eram dados a conhecer alguns estudos/esboços geométricos do pintor, que sem grande explicação, como quase toda a arte, surpreendiam pela sua espantosa regularidade! Quadrado, triângulos, equações, símbolos que representam diâmetros e um profusão de linhas que parecem ser construções de régua, compasso e esquadro é algo que podemos encontrar nestes esboços mas também no grande painel “Começar” patente na entrada da Fundação, também ele da autoria de Almada Negreiros. Interessante verificar, ouvindo antigas entrevistas do artista, o seu contentamento do perante o convite, em finais dos anos sessenta, para realizar esta obra “É a medida indispensável, necessária e justa para dispor o todo do conhecimento que eu criei”. Curiosamente, “Começar”, foi a sua última obra.
Um autodidata, desde cedo, explora a ideia da geometria como chave da arte visual, os seus muitos esboços geométricos não incluem nenhuma explicação que permita compreender os seus estudos, mas estes acompanharam a sua carreira de 1916 até 1970, experimentalistas, com base na tentativa erro, sistemáticos, exaustivos e, por vezes, obsessivos, criando aquilo que muitos denominam do Cânone de Almada.
Apesar de um vasto espólio de esboços geométricos, escassas são as referências de Almada Negreiros ao seu Cânone e as existentes são muito difíceis de entender e decifrar até porque este utilizava uma notação matemática muito própria – a sua: ele sabia o que estava a fazer, tudo para ele era claro, se o resto do mundo não entendesse, o problema não era seu!
Pedro Freitas e Simão Palmeirim Costa dedicaram-se à análise sistemática dos esboços geométricos de Almada Negreiro, tendo como aliadas a Matemática e a Arte, um estudo moroso e minucioso, reconstituindo, depois de identificar os vários elementos presentes, as suas construções geométricas em Geogebra. Este estudo permite perceber que existem, na obra de Almada, dois tipos de construções: as exatas, as quais foram demonstradas  matematicamente pelos dois autores do estudo e que se poderiam denominar “Teoremas de Almada”, e as aproximadas, para as quais calcularam o erro, muito vezes na ordem de um milésimo, portanto surpreendente boas – a espessura do lápis seria maior do que o erro cometido no traço. Não há dados que permitam concluir se Almada fazia distinção entre estes dois tipos de construção. A explicação rigorosa de dezenas de estudos geométricos de Almada Negreiros pode ser encontrada no livro “O livro de problemas de Almada Negreiros” de Pedro Freitas e Simão Palmeirim Costa . Esta autores dedicaram-se também ao estudo do painel “Começar”e, com base nesse estudo, em abril de 2017, a Fundação Gulbenkian lançou um portal eletrónico dedicado ao painel “Começar” . Pedro Freitas e Simão Palmeirim Costa organizam, frequentemente, visitas guiadas e explicadas ao painel “Começar” para todos os curiosos, amantes da arte e/ou da matemática.

“A divisão simultânea do quadrado e do círculo em partes iguais e partes proporcionais é a origem simultânea das constantes da relação nove/dez, grau medida e extrema razão e prova dos nove.”
Almada Negreiros

“Um ponto que está no círculo e que se põe no quadrado e no triângulo. Conheces o ponto? Tudo vai bem. Não conheces? Tudo está perdido.”
Almada Negreiros

Fonte: Crónica de Jorge Buescu “A Chave da Geometria de Almada” na revista Ingenium de abril de 2017

“Maths: why many great discoveries would be impossible without it”

Um excelente artigo sobre o papel determinante que os modelos matemáticos podem ter na investigação de outras áreas do conhecimento, neste caso, na biologia celular, e a importância do trabalho cooperativo entre as diversas áreas do saber, que não são nem devem ser, ao contrário do que muitos acham, estanques!
Muito aconselhável a leitura a todos que consideram que a Matemática para nada serve, a não ser para fritar a sua pipoca e a dos seus miúdos. O saber não ocupa lugar, mesmo não gostando da matéria em estudo! Nem tudo é de fácil apreensão, compreensão e aplicação mas há que fazer um esforço, com trabalho, tempo e maturidade as peças do puzzle encaixam na perfeição “et voilá”, vislumbra-se a beleza desta ciência rainha, sempre pronta a dar um pezinho de dança com as outras ciências. Já sei, já sei, há sempre quem não goste de puzzle… temos pena, “Their loss”

Sugestões de 50 sites para compreender melhor, de uma forma mais lúdica, apelativa e diferente a Matemática (útil para quem ensina ou deseja aprender Matemática, já aqui falei de algumas delas, esta por exemplo que os meus alunos adoram)

Pequeno do meio e o cubo mágico

Decidimos que um cubo mágico (ou de Rubik), esse quebra tolas muito típico dos anos 80, era uma excelente presente de aniversário para pequeno do meio, capaz de prender a sua atenção e energia. Uma provocação, da nossa parte, uma vez que o moço tem a mania de agora classificar como “Secaaaaaa!” tudo o que advém do século XX, inclusive nós! Bingo, pequeno do meio e excelentíssimo esposo mergulharam na magia do cubo mágico e da sabedoria partilhada nas internets para o resolver. Excelentíssimo esposo, tão ou mais entusiasmado, que pequeno do meio, ao fim deste anos todos, conseguiu resolver, pela primeira vez, o cubo mágico e instalou um app no telemóvel para jogar o cubo mágico, modernices. Pequeno do meio decorou os 5 primeiros passos da resolução e faz desenhos em papéis cheios “fórmulas” do tipo FRUB e F´RUB´ (as iniciais de front, right, up e back onde apóstrofe significa que é para rodar no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio) para resolver os passos seguintes, é vê-lo brincar a toda a hora com o cubo. Levou o cubo mágico para a escola e fez sucesso, os amigos desmancham e ele resolve, “Hoje, resolvi 5 vezes! Já há mais um menino que leva o cubo mágico!”
O moço anda contente, puxa pela memória, desenvolve a visualização geométrica, concentra-se, não que os passos sejam difíceis mas são muitos e falhando um, puff, faz um brilharete, anda entretido, e já pediu a pirâmide mágica e o cubo mágico 2x2x2, isto porque não sabe que há o 4x4x4 e o 5x5x5, mas segundo ele o 13×13 é o mais difícil (socorro!). Acho que as nossas explorações vão continuar por estes terrenos

Dica:
As 8 fases, para iniciantes, da resolução do cubo mágico e ainda muitas outras informações para experts ou curiosos
Há várias apps para o telemóvel para resolver ou treinar o cubo rubik, basta procurar, instalar e começar a aplicar o método das 8 fases no cubo virtual!

π skyline

Na sequência do dia do π, bem sei que já passou quase 2 meses, nas minhas deambulações pelas internet encontrei no belo blogue What we do all day? uma atividade sobre o π que me deliciou! Mergulhámos cá em casa nesse fantástico número que é o π. E assim passei uma bela noite a desenhar o meu π skyline e uma tarde com a pequenada entre π skyline e o π com legos.
A ideia é simples é representar os primeiros dígitos do π, utilizando uma folha quadriculada, formando uma espécie prédio que faz lembrar uma cidade como Nova Iorque e depois decorar.  Pequenada entusiasmou-se com o π, ao ver a apresentação que fiz para os meus alunos (pimpolha mais velha domina o power point muito melhor que eu e deu ali uns retoques que abrilhantaram a coisa) e quando me viram toda entretida com o meu π skyline, as pequenas quiseram logo fazer um seu, já pequeno do meio disse logo que não dava para esse peditório mas quando lhe propus representar uma parte do π em Legos aderiu prontamente. Quando ia a meio da sua placa de lego exclama “Espera lá mas este número não tem fim, eu sei bem! Não penses que eu vou continuar isto, nunca mais termina e eu tenho mais que fazer!” E não houve ninguém que o convencesse a continuar, as manas terminaram a placa que o rapaz mostrou-se implacável! Pimpolha mais pequena, apesar de ainda não conhecer bem todos os algarismos, desenrascou-se muito bem com a representação em quadradinhos de 30 dígitos, nunca se enganou e ficou toda orgulhosa e a mãe só ajudou a identificar alguns algarismos e a desenhar o sol. Um trabalho que todos apreciaram cá por casa! Matemática, arte e bons momentos em família 🙂

 Mais pormenores sobre como fazer um π skylin

Pormenores técnicos!

Aquelas pequenas coisas que dizemos aos alunos para os ajudar a lembrar alguns pormenores e eles aplicam e reproduzem na perfeição. Confirma-se que ao lecionar o estudo das transformações gráficas das funções é sempre assim que me refiro ao x pois efetivamente ele é “mentiroso”, no sentido em que engana, coitadito do x! Um “comentário” que, aparentemente, os alunos retém.

Pi

A razão, aparentemente, simples, e constante, entre duas medidas (o comprimento da circunferência e o seu diâmetro) deram origem a um número tão transcendente e controverso, o primeiro a ter direito ao seu próprio símbolo, o número π – o número mais conhecido na área da matemática. Entre dígitos e mais dígitos, a História e as histórias, factos e curiosidades, piadas, etc. tudo parece girar, literalmente, à sua volta, de tal forma que até ganhou o direito a ter o seu próprio dia (14 de março).
Aqui fica o registo de algumas das coisas que partilhei sobre o π, no dia de hoje, com os meus alunos. Espero que gostem, eles apreciaram 🙂

Um feliz dia do π onde quer que esteja, dentro ou fora da linha da circunferência.

Nota: Coincidência, ou talvez não, À volta do infinito é nome deste blogue e quem por aqui escreve assina como Pi.
This is me, Pi, talking about π but I also like to make and eat talk about pi(e) among other things, some racional, some not so rational but, above all, searching for infinity.

Os algoritmos e (o poder d)a Matemática

Natural Cycles, é o primeiro método contracetivo aprovado que consiste num app do telemóvel que corre um algoritmo matemático aprovado pela Agência Europeia da Saúde. Todos os dias a mulher insere, na app, a sua tempertura, medida debaixo da língua, e baseado num algortimo matemático, e em muitos outros factores como a regularidade dos ciclos, o tempo de vida do espermatozóide, a app determina se a mulher está num dia fértil ou não, e com tal se poderá, ou não, ter relações sexuais sem qualquer tipo de proteção sem arriscar engravidar. Estudos demonstram que este método/app é tão eficaz como a pílula, os preservativos e os dispositivos. Esta app, foi notícia esta semana, e é da autoria de uma cientista (física nuclear) sueca e tem cerca de 150 000 utilizadores em 161 países e transpõem para os gadjets, um método que vem sendo utilizados à milhares de anos mas que tem em conta muitos outros factores, além das temperaturas. Mais pormenores aqui. Para mais informações aqui o site da Natural Cycles, em português.

Numa outra perspetiva, com base em algoritmos matemáticos, o livro “Weapons of Math Destrution” de Cathy O´Neil (PhD , em Harvard, na área da Matemática), mostra-nos os perigos, e alguns dos efeitos nefasto, que podem ter os modelos computacionais e os seus algortimos quando gerados e/ou geridos por pessoas pouco escrupulosas e oportunistas, especialmente quando associados a essa excelente base de recolha e armazenamento de dados que é a internet. Correm rumores que até podem ajudar a eleger certos e determinados presidentes dos EUA (no entanto, também há matemáticos a trabalhar, em várias áreas, para tentar evitar que isto aconteça, este é apenas um exemplo noticiado recentemente). Um livro muito interessante do qual falarei em pormenor mais tarde, depois de terminar a sua leitura.

A Matemática é uma “arma” poderosa ao serviço de muitas ciências e, com tudo na vida, há sempre um bright  e um dark side, não da ciência em si, mas de quem e como a utiliza.

Math rocks anda rules, oh yeah! Gostava tanto que os meus alunos percebessem isto!

Quadrado preto

Um passatempo giro, ao género do Sudoku, baseado numa ideia simples e apelativa que utiliza as áreas, estimula o domínio e a memorização das tabuadas, perceção geométrica e o raciocínio lógico, com graus progressivos de dificuldade. Muito giro e da autoria de uma professora, portuguesa, de Geometria Descritiva, com algum gosto/queda para a Matemática, Ana La Féria, da Alfii!. Experimentem e divirtam-se!

Trocos…!

A história infantil “O rapaz que tinha zero a Matemática”, de Luísa Ducla Soares, veio-me, imediatamente, à memória, ao efetuarmos dois pagamento, em estabelecimentos distintos, e onde hesitei “Explico-lhes ou deixo-os na ignorância?”.

Situação 1:
– São 7,95€ diz a funcionária
– Dá-lhe jeito os 2,95€? pergunto ao entregar-lhe uma nota de 10€
– Sim, sim, ajuda bastante.
– Pode ser 3€? pergunto entregando-lhe as moedas
– Humm… assim não dá! diz-me, olhando para o computador, e devolvendo-me as moedas, mirando-me com um ar desconfiado.
Fiquei tentada a explicar-lhe, e ela deve ter percebido pois olhava alternadamente para mim e para o computador que lhe dizia qual era o troco mas… percebi, rapidamente, que não valia a pena e esta falta de destreza, da parte da funcionária, e de vontade, da minha parde, deixou-me, sobejamente, aborrecida.

Situação 2 (1 hora depois da situação 1)
– São 13€ diz a funcionária
– Ok diz excelentíssimo esposo entregando-lhe 20€
– Aqui tem diz a funcionária colocando-lhe 5€ na palma da mão.
– Não me disse que eram 13€? Só me deu 5€ de troco e dei-lhe 20€
– Peço desculpa diz, atrapalhada, enquanto deposita 1€ em cima dos 5€.
– Mas não são 13€? pergunta, pacientemente, excelentíssimo esposo, olhando para a funcionária e para o troco na palma da sua mão.
– Peço imensas desculpas é que o sistema tem estado em baixo. Nisto coloca, com receio de ainda não ser desta que acertou, mais 1€ na palma de excelentíssimo esposo.

Socorro!!!!! Tirem-me deste filme…! O sistema está em baixo? É por estas, e por outras, que os meus alunos, não usam calculadora nos testes nem nas aulas: revoltados no início, rendidos ao fim da 2ª semana, convencidos no final do 1º período. O sistema “mental” é um grande e poderoso meio quando, bem oleado e havendo vontade e disposição do dono, funciona na perfeição!

O livro de Luísa Ducla Soares deve ser lido a, ou por, todos os meninos que não gostam de Matemática. O Vasco, o tal que tinha zero e desprezava a Matemática, só percebeu a importância de saber pensar e fazer contas quando foi enganado, uns belos €€€, por um colega. Cá por casa já lemos esta história várias vezes, pequeno do meio é fã!

“I advise my students to listen carefully the moment they decide to take no more mathematics courses. They might be able to hear the sound of closing doors.”

James Caballero

Eleições EUA: número de votos e proporções

Poderá servir de consolo e de alento, o facto de Hillary Clinto ter tido mais 207 632 votos que Donald Trump. No entanto, o que parece uma diferença de número de votos significativa, não se reflete em termos percentuais (relativamente ao  número total de votos úteis), onde se traduz numa superioridade de apenas 0,2%, uma lágrima gota no oceano. Os números, por si, se desconhecermos o universo em que trabalhamos, podem ser ilusórios, enganadores, daí a importância das proporções como forma de relativizar e lhes dar uma outra interpretação/significado. Um amargo de boca, neste caso, para muitos americanos, será o facto de o voto popular não eleger, diretamente, o seu presidente.

No sistema eleitoral americano, e embora, ao contrário de Portugal, a eleição do presidente não seja um método de eleição direto, o candidato com mais votos, regra geral, é o eleito. No entanto,  quando as diferenças percentuais, em termos de números de votos, entre candidatos, são mínimas, pode acontecer, aparentemente, o impossível, bastando que um dos candidatos “ganhe” em alguns dos estados mais populosos. A escassa diferença percentual, a nível dos votos entre candidatos, muito próximo da margem de erro da sondagem, é uma das possivéis justificação para os resultados das sondagens que, na maioria, indicavam Hillary Clinton como vencedora.
A última vez que algo semelhante ocorreu, nos EUA, foi em 2000, na eleição de Bush. Coincidências e paralelismos!!

Indicadores curiosos destas eleições (em gráficos, números, géneros, habilitações, nacionalidade, etc)

Feira das Matemáticas

“Agora que isto já acabou, podemos ir então ao circo?” pergunta uma petiza, de 4/ 5 anos, no final do Circo Matemático.

O Tiago conduziu, como sempre, com maestria e simpatia, o Circo Matemático, que desta vez teve como inovação um dos elementos tocar saxofone o que lhe deu um outro élan. No final da sessão, explicaram a matemática por detrás dos truques apresentados (muitos baseadas no sistema binário) e deixaram a pequenada fazer alguns truques e ensinaram outros. Pequenada ficou super entusiasmados 🙂 Ainda viram os sólidos platónicos feitos com balões, planificações de sólidos que através de uns fios estrategicamente colocados nas mesmas, puxando, faziam surgir o sólido geométrico (até eu fiquei maravilhada com este “engenho” rudimentar), encantaram-se com o jogo da tabuada Multipli e verificaram que conheciam vários dos jogos expostos :). O difícil foi arrancá-los de lá, o triste foi constatar que circulavam poucas pessoas num espaço tão rico de conhecimento, não só matemático!

III Feira das Matemáticas no Museu Nacional da História Natural e da Ciência

Jogos para a pequenada (dos bons)

Fica a sugestões de três sites (esteeste e este) repletos de jogos giros, para a pequenada treinar o cálculo mental, o raciocínio lógico e estratégico, a matemática anda por lá, mas “como não se vê”, agrada a miúdos e graúdos.
Cá por casa têm estado “em destaque”, o Numbers, um jogo simples mas onde se pode constatar, facilmente, que a pequenada, regra geral, não tem grande destreza no cálculo mental, e o Reversi um verdadeiro jogo de estratégia, com regras simples e onde tão depressa se está em vantagem como à beira da derrota. Desde os pequenos, até os meus alunos, todos vibraram. Aventurem-se, experimentem, vão ver que não se arrependem e ainda se divertem com a pequenada, enquanto desenvolvem “competências” importantes! Just saying…

Vantagens de uma estante cheia de livros

Pimpolha mais velha, ávida leitora, neste momento não se mostra aberta a nenhuma sugestão de leitura, os livros parecem ter deixado de estar no seu top 10 (não sei bem o que estará, enfim, adiante). Deixámos de sugerir-lhe livros, gere a sua “vasta” biblioteca de livros por ler como entende, ou não entende. Qual não foi o meu espanto quando me disse “Este livro é mesmo fixe! É dos teus…”. Triplamente surpreendida: escolheu e leu um livro, esse livro era da “minha” estante e, a cereja no topo do bolo, gostou! O livro que escolheu foi a Mansão dos Labirintos, de pistas em pista, para trás e para a frente nas páginas, de mistério em mistério, a rapariga parecer ter-se divertido à brava, em torno de formas, volumes e medidas.
O livro faz parte da coleção “Aventuras da Matemática“, que tem 4 livros, pequenos, cada uma subjacente a um tema (Números, Tratamento de dados, Formas, volumes e medidas e Cálculos).
Uma coleção bem conseguida, representando uma maneira simples de aguçar a curiosidade, resolvendo mistérios, incutindo na pequenada o gosto pela leitura e pela matemática.

img_6257

Square it!

Square it! é um jogo simples, para 1 jogador ou 2 jogador, ganha quem primeiro fizer um quadrado da sua cor. Parece simples e fácil, certo? Nada como experimentar. É um dos vários jogos do site Wild Maths, uma iniciativa Millennium Mathematics Project.

Outro site interessante também com uma vertente na área das matemáticas puras e duras!